Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh,
RELASI
1.1 Pengertian Relasi
Relasi adalah Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan
dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama.
Contoh
misalkan M = {Ami,Budi,Candra,Dita} dan N = {1, 2,
3}. Misalkan pula, Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2
tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P =
{(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan
pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan himpunan
N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan himpunan N dan dapat
ditulis sebagai P = {(x,y) |
x berusia y, dimana xÎM
dan yÎN}.
1.2 Penyajian Relasi
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :
1. Himpunan pasangan
terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra,
2), (Dita, 1)}
2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian, P =
{(x,y) | x
berusia y, dimana xÎM dan
yÎN}
3. Diagram panah,
4. Diagram koordinat atau grafik relasi,
5. Matriks relasi,
6. Bentuk graf berarah (digraf),
- Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph).
- Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
- Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
Contoh
7. Relasi dengan tabel,
- Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
1.3 Sifat Sifat Relasi Biner
- Relasi Biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.
1. Refleksif
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan
A. Relasi R.
jika untuk setiap a Î A
berlaku (a,a) Î R. Contoh :
- Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.
- Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y) | x kelipatan y, x, y Î B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksif.
- Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y) | x + y <10, x,y Î A}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3 tersebut tidak bersifat refleksif.
2.Simetris
Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b) Î R
berlaku (b,a) Î R. Contoh :
- Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.
- Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R5 = { (x,y) | x kelipatan y , x, y Î B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) Î R5 tetapi (2,4) Ï R5.
3. Transitif
Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)ÎR dan
(b,c)ÎR berlaku (a,c)ÎR. Contoh :
- Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R6 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)} Relasi R6 tersebut bersifat transitif.
- Relasi R7 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) Î R7 dan (2,3) Î R7, tetapi (1,3) Ï R7.
4. Antisimetris
Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap
(a,b) Î R dan (b,a) Î R berlaku a = b. Contoh :
- Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R8 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }. Dengan demikian R8 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R8 tersebut bersifat antisimetris.
- Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R9 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) } Relasi R9 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)Î R9 dan (2,1) Î R9, tetapi 1 tidak sama dengan 2.
RELASI EKIVALEN
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi
tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Contoh :
- Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) } Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.
- Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x, y Î B } maka R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.
RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN (PARTIAL ORDERING)
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan
sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif,
transitif dan antisimetris.
Contoh 20
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R3 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif dan
transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi
tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.
Contoh 21
Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B } maka R4 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif.
Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan
sebagian.
FUNGSI
2.1 Definisi Fungsi
Misal f adalah relasi dari A ke B. f disebut fungsi jika untuk setiap anggota A direlasikan
dengan tepat satu anggota B.
Contoh:
Misal A = {1,2,3}, B = {u,v,w}
1. f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi
2. f = {(1,u),(2,u),(3,w)} adalah fungsi.
2.2 Jenis Fungsi
- Fungsi f disebut satu satu / injectif ,jika tidak ada elemen himpunan A yang mempunyai bayangan yang sama atau untuk setiap a,b∈A, jika a ≠ b maka f(a) ≠ f(b).
Contoh: f = {(1,w),(2,u),(3,v)}
- Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif, jika setiap anggota himpunan B adalah merupakan bayangan dari satu atau lebih anggota himpunan A.
Contoh: f = {(1,w),(2,u),(3,v)}
- Fungsi f dikatakan berkoresponden satu – satu / bijektif jika f adalah fungsi satu satu dan pada.
Waalaikumsalam Warahmatullahi Wabarakatuh,
Semoga bermanfaat ya guys:)
0 komentar:
Posting Komentar