RELASI DAN FUNGSI

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh,

RELASI

1.1 Pengertian Relasi

Relasi adalah Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama.

Contoh 

misalkan M = {Ami,Budi,Candra,Dita} dan N = {1, 2, 3}. Misalkan pula, Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan himpunan N dan dapat ditulis sebagai P = {(x,y) | x berusia y, dimana xÎM dan yÎN}.

1.2 Penyajian Relasi

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

1. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)}

2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian, P = {(x,y) | x berusia y, dimana xÎM dan yÎN}

3. Diagram panah,

4. Diagram koordinat atau grafik relasi,

5. Matriks relasi,

6. Bentuk graf berarah (digraf),

• Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph).
• Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. 
• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).

Contoh

7. Relasi dengan tabel,

• Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.  

1.3 Sifat Sifat Relasi Biner

• Relasi Biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. 

1. Refleksif

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R.

jika untuk setiap a  Î A berlaku (a,a) Î R. Contoh :

• Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif. 
• Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y) | x kelipatan y, x, y  Î B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksif. 
• Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y) | x + y <10, x,y Î A}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3 tersebut tidak bersifat refleksif. 

2.Simetris

Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b)  Î R berlaku (b,a)  Î  R. Contoh :

• Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris. 
• Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R5 = { (x,y)  |  x kelipatan y , x, y  Î  B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2)  Î  R5 tetapi (2,4) Ï R5.

3. Transitif

Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)ÎR dan (b,c)ÎR berlaku (a,c)ÎR. Contoh :

• Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R6 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)} Relasi R6 tersebut bersifat transitif. 
• Relasi R7 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) Î R7 dan (2,3) Î R7, tetapi (1,3) Ï R7.

4. Antisimetris

Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b) Î R dan (b,a) Î R berlaku a = b. Contoh :

• Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R8 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }. Dengan demikian R8 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R8 tersebut bersifat antisimetris.
• Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R9 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) } Relasi R9 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)ΠR9 dan (2,1) Î R9, tetapi 1 tidak sama dengan 2.

RELASI EKIVALEN 

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Contoh :  

• Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) } Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen. 
• Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x, y Î B } maka R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN (PARTIAL ORDERING) 

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris. 

Contoh 20 Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R3 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian. 

Contoh 21 Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B } maka R4 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

FUNGSI

2.1 Definisi Fungsi

Misal f adalah relasi dari A ke B. f disebut fungsi jika untuk setiap anggota A direlasikan dengan tepat satu anggota B. 

Contoh: Misal A = {1,2,3}, B = {u,v,w} 

1. f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi 

2. f = {(1,u),(2,u),(3,w)} adalah fungsi.

2.2 Jenis Fungsi 

• Fungsi f disebut satu satu / injectif ,jika tidak ada elemen himpunan A yang mempunyai bayangan yang sama atau untuk setiap a,b∈A, jika a ≠ b maka f(a) ≠ f(b). 

Contoh: f = {(1,w),(2,u),(3,v)} 

• Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif, jika setiap anggota himpunan B adalah merupakan bayangan dari satu atau lebih anggota himpunan A. 

Contoh: f = {(1,w),(2,u),(3,v)} 

• Fungsi f dikatakan berkoresponden satu – satu / bijektif jika f adalah fungsi satu satu dan pada.

Gambar berikut akan memperlihatkan perbedaan fungsi, fungsi satu – satu, fungsi pada.

Waalaikumsalam Warahmatullahi Wabarakatuh,

Semoga bermanfaat ya guys:)